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一、前言

我在阅读众多博客后，发现关于为什么最底层的宽度最小且高度最高的解释尚不充分，因此决定通过自己的思考得以探索。由于自身缺乏专业视角，仅能提供一个大致的证明思路。

二、证明

（1）LH sb 证明1，暴力讨论法

直接从正面解释高度最值的条件较为困难，因此我们尝试通过柯老师提出的“正难则反”和“better than anyone”思想来探讨问题。

假设当最底层的宽度为f[i]时，干草堆的高度为一个最大值。为了证明当最底层宽度增大时，堆高反而会降低，我们可以进行以下分析：

• 要将草堆从上层移动到底层，如果底层宽度变大而不新添加草堆，唯一的方法是从上层取出部分草堆将其放入最底层。

  （1）上层不满足要求

  • 如尝试将③号草堆取到最底层，上层将失去满足条件的状态，进而迫使又必须向上取草堆
  • 这种情况导致上层高度只能下降。

  （2）上层满足要求

  • 如图所示，当最底层将三号草堆包括进来，上层依然满足条件
  • 若上层能够将某一段草堆放至上上层，则这种方案并非最佳
  • 若上层无法将草堆放至上一层，则必然不会出现比此方案更优的情况，因而高度不变
  • 综上，可证：当最底层宽度最小时，高度达到最优

（2）证明2，由实现得到的灵感

重新审视问题，以外部视角进行验证：

• 将初始状态的草堆变为另一种状态时，上层可选择的草堆范围变化
• 例如，选择[1,3]段的草堆，而下一状态可选择[1,3)段
• 原始状态含有更多选项，在最坏情况下不超过下一状态（将草堆3放至最底层）
• 增大最底层宽度只会导致高度下降或不变

三、实现

基于上述证明，轻松编写代码：

#include <_vector>#include 
   
    #include 
    
     using namespace std;#define LL long long#define ULL unsigned long longtypedef uint64_t ULL;template 
     
      void read(T &x) {    x = 0;    ULL f = 1;    char c = getchar();    while (c < '0' || c > '9') {        if (c == '-') f = -1;        c = getchar();    }    while (c >= '0' && c <= '9') {        x = (x < 1) ? x : x;        x = x * 10 + (c - '0');        c = getchar();    }    x *= f;}void write(ULL x) {    if (x < 0) {        x = -x;        putchar('-');    }    if (x > 9) {        write(x / 10);    }    putchar(x % 10 + '0');}ULL Max(ULL x, ULL y) { return x > y ? x : y; }ULL Min(ULL x, ULL y) { return x < y ? x : y; }ULL Abs(ULL x) { return x > 0 ? x : -x; }const int Maxn = 1e5 + 5;int n;int a[Maxn], f[Maxn], h[Maxn];ULL fall[Maxn];int main() {    read(n);    for (int i = 1; i <= n; i++) {        read(a[i]);    }    for (int i = n; i >= 1; i--) {        fall[i] = (fall[i+1] + a[i]);    }    for (int i = n; i >= 1; i--) {        int j;        do {            add(j);            j = q[tt];        } while (f[j] + fall[j] <= f[tt] + fall[tt]);        if (j <= n+1) {            f[i] = fall[i] - fall[j];            h[i] = h[j] + 1;        }        break;    }    write(h[1]);    return 0;}void add(int x) {    while (hh <= tt && (f[x] + fall[x]) <= f[q[tt]] + fall[q[tt]]) {        tt--;        q[hh] = x;        hh++;    }    q[tt] = x;    tt++;}
     
    
   

代码逻辑为：

本文完整解释了最底层宽度最小时高度时的最佳状态，方法简单直观，易于理解和复现。

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